Question

已知

π

4

＜α＜β＜

π

2

，且sin（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=

12

13

．
（1）判斷α-β的范圍；
（2）用α+β，α-β，表示2α；
（3）求cos2α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù),二倍角的余弦

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）運(yùn)用不等式的性質(zhì)：可加性，注意α-β＜0，即可得到；
（2）運(yùn)用相加即可得到；
（3）分別求出α+β，α-β的范圍，運(yùn)用同角的平方關(guān)系，再由兩角和的余弦公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：（1）由于

π

4

＜α＜β＜

π

2

，則-

π

2

＜-β＜-

π

4

，且α-β＜0，
即有-

π

4

＜α-β＜0；
（2）2α=（α+β）+（α-β）；
（3）由于

π

4

＜α＜β＜

π

2

，則

π

2

＜α+β＜π，
則有cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

1- 16 25

=-

3

5

，
由-

π

4

＜α-β＜0，則sin（α-β）=-

1-( 12 13 )2

=-

5

13

．
則cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
=（-

3

5

）×

12

13

-

4

5

×(-

5

13

)=-

16

65

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的求值，考查同角的平方關(guān)系和兩角和的余弦公式，以及角的變換，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．