Question

13．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π-α）=$\sqrt{2}$cos（${\frac{7}{2}$π+β），$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），求α，β的值．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式化簡已知可得sinα=$\sqrt{2}$sinβ，$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，將兩式平方后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解得$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{cosβ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{cosβ=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，結(jié)合角的范圍即可得解α，β的值．

解答 解：∵由sin（5π-α）=$\sqrt{2}$cos（${\frac{7}{2}$π+β），可得：sinα=$\sqrt{2}$sinβ，兩邊平方可得：sin²α=2sin²β，①
由$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），可得：$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，兩邊平方可得：3cos²α=2cos²β，②
∴①+②可得：sin²α+3cos²α=2sin²β+2cos²β=2，
又∵sin²α+cos²α=1，
∴解得：cos²α=$\frac{1}{2}$，即：$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{cosβ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{cosβ=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∵α，β∈（0，π），
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{α=\frac{π}{4}}\\{β=\frac{π}{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{α=\frac{3π}{4}}\\{β=\frac{5π}{6}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．