Question

2．已知拋物線y²=ax（a≠0）的準(zhǔn)線方程為x=-3，△AOB為等邊三角形，且其頂點(diǎn)在此拋物線上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的邊長(zhǎng)為24$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由拋物線的準(zhǔn)線方程可得a=12，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知：另外兩頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．進(jìn)而設(shè)出直線OA的方程代入拋物線的方程，解方程可得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可求得邊長(zhǎng)．

解答 解：拋物線y²=ax（a≠0）的準(zhǔn)線方程為x=-3，
可得a=12，即拋物線的方程為y²=12x，
由拋物線的對(duì)稱性知：△AOB另外兩頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．
設(shè)直線OA：y=tan30°x，即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
代入拋物線方程y²=12x，解得x=0或36，
可得另外兩點(diǎn)分別為（36，12$\sqrt{3}$），（36，-12$\sqrt{3}$），
則△AOB的邊長(zhǎng)為$\sqrt{3{6}^{2}+（12\sqrt{3}）^{2}}$=24$\sqrt{3}$．
故答案為：24$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要是對(duì)稱性的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．