Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{n+1}{n}{a_n}+2n+2（n∈{N^*}）$，令${b_n}=\frac{a_n}{n}$，
（1）求證{b_n}是等差數(shù)列并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_3n-1}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）式子a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n+2n+2兩邊同時(shí)除以n+1即可得出$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2，得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出{b_3n-1}為等差數(shù)列，根據(jù)求和公式得出S_n．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n+2n+2，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2，即b_n+1-b_n=2，
又b₁=a₁=1，
∴{b_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=2n²-n．
（2）∵{b_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴{b_3n-1}是以b₂=3為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}×6$=3n²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的判斷與通項(xiàng)公式，求和公式，屬于中檔題．