Question

2．已知f（x+1）是偶函數(shù)，且對(duì)任意x₁、x₂∈[1，+∞），當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，都有不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立．若α、β是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． f（cosα）≥f（cosβ）
• B． f（sinα）≤f（sinβ）
• C． f（sinα）≥f（cosβ）
• D． f（sinα）≤f（cosβ）

Answer 1

分析 由當(dāng)x₁，x₂∈（1，+∞）時(shí)，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，得函數(shù)為增函數(shù)，由f（x+1）是偶函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較即可．

解答 解：∵當(dāng)x₁，x₂∈（1，+∞）時(shí)，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∵f（x+1）是偶函數(shù)，
∴f（-x+1）=f（x+1），
∴函數(shù)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
∵α、β是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，
∴α+β＞90°，
∴90°＞α＞90°-β＞0°，
∴1＞sinα＞cosβ＞0，
∴f（sinα）＜f（cosβ）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．