Question

17．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，BC=CC₁=4，D是A₁C₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐C-B₁C₁D體積最大時(shí)，求點(diǎn)B到平面B₁CD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BC₁，交B₁C于O，連接DO．利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理可得：DO∥A₁B，再利用線面平行的判定定理即可證明．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C到平面A₁B₁C₁的距離是h，可得${V_{C-{B_1}{C_1}D}}=\frac{1}{3}{S_{△{B_1}{C_1}D}}h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h$，而h≤CC₁=4，故當(dāng)三棱錐C-B₁C₁D體積最大時(shí)，h=CC₁=4，即CC₁⊥平面A₁B₁C₁．由（Ⅰ）知：BO=OC₁，可得B到平面B₁CD的距離與C₁到平面B₁CD的距離相等．設(shè)C₁到平面B₁CD的距離為h'，由${V_{C-{B_1}{C_1}D}}={V_{{C_1}-{B_1}CD}}$，利用體積變形即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：連接BC₁，交B₁C于O，連接DO．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BB₁C₁C為平行四邊形，
∴BO=OC₁，又D是A₁C₁中點(diǎn)，∴DO∥A₁B，
而DO?平面B₁CD，A₁B?平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD．
（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)C到平面A₁B₁C₁的距離是h，則${V_{C-{B_1}{C_1}D}}=\frac{1}{3}{S_{△{B_1}{C_1}D}}h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h$，而h≤CC₁=4，
故當(dāng)三棱錐C-B₁C₁D體積最大時(shí)，h=CC₁=4，即CC₁⊥平面A₁B₁C₁．
由（Ⅰ）知：BO=OC₁，∴B到平面B₁CD的距離與C₁到平面B₁CD的距離相等．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，∴CC₁⊥B₁D，
∵△ABC是等邊三角形，D是A₁C₁中點(diǎn)，∴A₁C₁⊥B₁D，
又CC₁∩A₁C₁=C₁，CC₁?平面AA₁C₁C，A₁C₁?平面AA₁C₁C，
∴B₁D⊥平面AA₁C₁C，∴B₁D⊥CD，
由計(jì)算得：${B_1}D=2\sqrt{3}，CD=2\sqrt{5}$，∴${S_{△{B_1}CD}}=2\sqrt{15}$，
設(shè)C₁到平面B₁CD的距離為h'，由${V_{C-{B_1}{C_1}D}}={V_{{C_1}-{B_1}CD}}$得：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}×4=\frac{1}{3}{S_{△{B_1}CD}}h'⇒h'=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴B到平面B₁CD的距離是$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．