Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，g（x）=e^x-1+a-lnx，其中e=2.71828…，a∈R．
（Ⅰ）證明：x=e是函數(shù)f（x）的唯一零點；
（Ⅱ）當a≥2且x≥1時，試比較|f（x）|和|g（x）|的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論；（Ⅱ）通過討論x的范圍，去掉絕對值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，又f（e）=0，
∴當0＜x≤e時，f（x）≥0；當x＞e時，f（x）＜0，
∴x=e是f（x）的唯一零點．…（4分）
（Ⅱ）當1≤x≤e時，$|f（x）|-|g（x）|=f（x）-g（x）=\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a$…（6分）
設(shè)$m（x）=\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a$，則$m'（x）=-\frac{e}{x^2}-{e^{x-1}}＜0$，
∴m（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴m（x）≤m（1）=e-1-a，∵a≥2，∴m（x）＜0，
∴|f（x）|＜|g（x）|…（8分）
當x＞e時，$|f（x）|-|g（x）|=-f（x）-g（x）=-\frac{e}{x}+2lnx-{e^{x-1}}-a＜2lnx-{e^{x-1}}-a$…（9分）
設(shè)n（x）=2lnx-e^x-1-a，則$n'（x）=\frac{2}{x}-{e^{x-1}}$，n″（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-e^x-1＜0，
∴n′（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)，∴$n'（x）＜n'（e）=\frac{2}{e}-{e^{e-1}}＜0$，
∴n（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)，∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，
∴|f（x）|＜|g（x）|
綜上，當a≥2，x≥1時，|f（x）|＜|g（x）|…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及絕對值不等式的比較，是一道中檔題．