Question

6．動點P在拋物線x²=2y上，過點P作PQ垂直于x軸，垂足為Q，設(shè)$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$．
（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點S（-4，4），過點N（4，5）的直線l交軌跡E于A，B兩點，設(shè)直線SA，SB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)M的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，將P點坐標(biāo)代入整理可求得M的軌跡方程；
（II）直線l過點N，設(shè)l的方程為：y=k（x-4）+5，與E聯(lián)立，整理得：x²-4kx+16k-20=0，根據(jù)韋達定理，分類討論l是否經(jīng)過點S，并分別求得直線的斜率，即可求得k₁k₂的值．

解答 解：（I）設(shè)點M（x，y），P（x₀，y₀），則由$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x\\{y_0}=2y\end{array}\right.$，（3分）
因為點P在拋物線x²=2y上，所以，x²=4y..（6分）
（II）：由已知，直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-4）+5，
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）+5\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，
整理得：x²-4kx+16k-20=0，
由韋達定理，得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=16k-20\end{array}\right.$，（8分）
當(dāng)直線l經(jīng)過點S即x₁=-4或x₂=-4時，
當(dāng)x₁=-4時，直線SA的斜率看作拋物線在點A處的切線斜率，
則k₁=-2，${k_2}=\frac{1}{8}$，此時${k_1}{k_2}=-\frac{1}{4}$；
同理，當(dāng)點B與點S重合時，${k_1}{k_2}=-\frac{1}{4}$（學(xué)生如果沒有討論，不扣分）
直線l不經(jīng)過點S即x₁≠-4且x₂≠-4時，
∵${k_1}=\frac{{{y_1}-4}}{{{x_1}+4}}，{k_2}=\frac{{{y_2}-4}}{{{x_2}+4}}$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{{（k{x_1}-4k+1）（k{x_2}-4k+1）}}{{（{x_1}+4）（{x_2}+4）}}$，
=$\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+（k-4{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+16{k^2}-8k+1}}{{{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）+16}}$，
=$\frac{1-8k}{32k-4}=-\frac{1}{4}$．（12分）

點評 本題主要考查軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達定理的應(yīng)用，屬于中檔題．