Question

4．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-2}-1，x≥0}\\{x+2，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，則方程f[g（x）]-1=0的根有3或1或-1．

Answer 1

分析 由f[g（x）]-1=0得f[g（x）]=1，利用換元法設t=g（x），則f（t）=1，先求出t的值，然后結合t=g（x）的值，即可得到結論．

解答 解：由f[g（x）]-1=0得f[g（x）]=1，
設t=g（x），則f（t）=1，
若t≥0，則由f（t）=2^t-2-1=1，得2^t-2=2，即t-2=1，則t=3，
若t＜0，則由f（t）=t+2=1，得t=-1，
若t=3或t=-1，

若t=3，
當x≥0由g（x）=x²-2x=3得x²-2x-3=0得x=3或x=-1（舍）
當x＜0由g（x）=$\frac{1}{x}$=3得x=$\frac{1}{3}$（舍），
若t=-1，
當x≥0由g（x）=x²-2x=-1得x²-2x+1=0得x=1，
當x＜0由g（x）=$\frac{1}{x}$=-1得x=-1，
綜上x=3或x=1或x=-1，

即，方程f[g（x）]-1=0的根有3或1或-1，
故答案為：3或1或-1

點評 本題主要考查分段函數的應用，利用分類討論以及數形結合，利用換元法將復合函數進行轉化是解決本題的關鍵．