Question

13．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）（x＞0）}\end{array}\right.$，若關于x方程f（x）=ax有三個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 我們在同一坐標系中畫出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）（x＞0）}\end{array}\right.$的圖象與函數y=x+a的圖象，利用數形結合，我們易求出滿足條件實數a的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）（x＞0）}\end{array}\right.$，
的圖象如圖所示，
當$\frac{1}{2}$≤a＜1時，函數y=f（x）的圖象與函數y=ax的圖象有三個交點，
即方程f（x）=ax有三個不相等的實數根．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數的判斷，將方程f（x）=ax根的個數，轉化為求函數零點的個數，并用圖象法進行解答是本題的關鍵．