17.已知曲線f(x)=ax+bx2lnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線是y=2x-1.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a、b的值.
(Ⅱ)若f(x)≥kx2+(k-1)x恒成立,求實(shí)數(shù)k的最大值.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f(1),f′(1),求出a,b的值即可;
(Ⅱ)分離參數(shù),問題轉(zhuǎn)化為$k≤\frac{2+xlnx}{x+1}$恒成立,令$g(x)=\frac{2+xlnx}{x+1}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可.

解答 解:(Ⅰ)f'(x)=a+2bxlnx+bx,
則f(1)=a=1,f'(1)=a+b=2,
解得:b=1;
(Ⅱ)由題x+x2lnx≥[kx+k-1]•x恒成立,
即$k≤\frac{2+xlnx}{x+1}$恒成立,
令$g(x)=\frac{2+xlnx}{x+1}$,
則$g'(x)=\frac{(lnx+1)(x+1)-2-xlnx}{{{{(x+1)}^2}}}=\frac{lnx+x-1}{{{{(x+1)}^2}}}$,
顯然y=lnx+x-1單增,且有唯一零點(diǎn)x=1,
∴g(x)在(0,1)上單減,在(1,+∞)上單增,
∴gmin(x)=g(1)=1,
∴k≤1,故k的最大值為1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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x2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.22
y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10
lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80
由此可得這個(gè)曲邊三角形面積的一個(gè)近似值為$\frac{3}{5}$(e-1).

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