Question

6．設$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+5$，當$x∈[{-\frac{3}{2}，3}]$時，f（x）＜m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（11，+∞）．

Answer 1

分析 先求導數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點的大小從而確定出最大值，進而求出變量m的范圍．

解答 解：f′（x）=x²-1=0
解得：x=1或-1
當x∈[-$\frac{3}{2}$，-1）或（1，3]時，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_max={f（-1），f（3）}_max=11
由f（x）＜m恒成立，
∴m＞f_max（x）=11．
故答案為：（11，+∞）

點評 本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎題．