Question

5．如圖，在同一平面內(nèi)，點A位于兩平行直線m，n的同側，且A到m，n的距離分別為1，3．點B、C分別在m、n上，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=5$，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值是$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標系，得到點A、B、C的坐標，由 $|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=5$，求得a+b=±3，分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ 的最大值．

解答 解：由點A位于兩平行直線m，n的同側，且A到m，n的
距離分別為1，3，
可得平行線m、n間的距離為2，
以直線m為x軸，以過點A且與直線m垂直的直線為y軸
建立坐標系，如圖所示：
則由題意可得點A（0，1），直線n的方程為y=-2，
設點B（a，0）、點C（b，-2），
∴$\overrightarrow{AB}$=（a，-1）、$\overrightarrow{AC}$=（b，-3），
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（a+b，-4）．
∵$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=5$，∴（a+b）²+16=25，∴a+b=3，或a+b=-3．
當a+b=3時，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=ab+3=a（3-a）+3=-a²+3a+3，它的最大值為$\frac{-12-9}{-4}$=$\frac{21}{4}$．
當a+b=-3時，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=ab+3=a（-3-a）+3=-a²-3a+3，它的最大值為$\frac{-12-9}{-4}$=$\frac{21}{4}$．
綜上可得，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ 的最大值為$\frac{21}{4}$，
故答案為：$\frac{21}{4}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．