【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的最大值;
(2)若在區(qū)間上的最大值為,求的值;
(3)設(shè),若,對(duì)于任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù),證明: .
【答案】(1)最大值為﹣1;(2)a=﹣e2;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)在定義域(0,+∞)內(nèi)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),求其極大值,若是唯一極值點(diǎn),則極大值即為最大值.
(2)在定義域(0,+∞)內(nèi)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),對(duì)a進(jìn)行分類討論并判斷其單調(diào)性,根據(jù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的單調(diào)性求其最大值,并判斷其最大值是否為﹣3,若是就可求出相應(yīng)的最大值.
(3)先求導(dǎo),再求導(dǎo),得到g′(x)為增函數(shù),不妨令x2>x1,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)即可證明.
試題解析:
(1)易知f(x)定義域?yàn)椋?/span>0,+∞),
當(dāng)a=﹣1時(shí),f(x)=﹣x+lnx,,
令f′(x)=0,得x=1.
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù).
f(x)max=f(1)=﹣1.
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的最大值為﹣1,
(2)∵.
①若,則f′(x)≥0,從而f(x)在(0,e]上是增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合題意,
②若,則由,即
由,即,
從而f(x)在(0,﹣)上增函數(shù),在(﹣,e]為減函數(shù)
∴
令,則,
∴a=﹣e2,
(3)證明:∵g(x)=xf(x)=ax2+xlnx,x>0
∴,
∴g′(x)為增函數(shù),不妨令x2>x1
令,/p>
∴,
∵,
∴
而h(x1)=0,知x>x1時(shí),h(x)>0
故h(x2)>0,
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市高中全體學(xué)生參加某項(xiàng)測(cè)評(píng),按得分評(píng)為兩類(評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)見表1).根據(jù)男女學(xué)生比例,使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),其中等級(jí)為的學(xué)生中有40%是男生,等級(jí)為的學(xué)生中有一半是女生.等級(jí)為和的學(xué)生統(tǒng)稱為類學(xué)生,等級(jí)為和的學(xué)生統(tǒng)稱為類學(xué)生.整理這10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),得到如圖2所示的頻率分布直方圖,
類別 | 得分() | |
表1
(I)已知該市高中學(xué)生共20萬人,試估計(jì)在該項(xiàng)測(cè)評(píng)中被評(píng)為類學(xué)生的人數(shù);
(Ⅱ)某5人得分分別為45,50,55,75,85.從這5人中隨機(jī)選取2人組成甲組,另外3人組成乙組,求“甲、乙兩組各有1名類學(xué)生”的概率;
(Ⅲ)在這10000名學(xué)生中,男生占總數(shù)的比例為51%, 類女生占女生總數(shù)的比例為, 類男生占男生總數(shù)的比例為,判斷與的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過作直線交橢圓于兩點(diǎn), 是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí), ,函數(shù).若對(duì)任意,存在,不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)時(shí),求在上的單調(diào)區(qū)間;
(2)且, 均恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列: 滿足: , 或1().對(duì)任意,都存在,使得.,其中 且兩兩不相等.
(I)若.寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào);
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)記.若,證明: ;
(Ⅲ)若,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅰ)求、.
(Ⅱ)設(shè),求的最大值.
(Ⅲ)證明函數(shù)的圖像與直線沒有公共點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè)與的交點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí), 的軌跡為曲線.
(1)寫出的普遍方程及參數(shù)方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為, 為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到的距離的最小值.
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