Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在區(qū)間（

π

4

，

π

2

）上是減函數(shù)，且f（0）=f（

π

4

）=-f（

π

2

），則f（

π

12

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：直線與圓

分析：由f（0）=f（

π

4

）=-f（

π

2

），可得函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程，以及和它相鄰的一個(gè)對稱中心，根據(jù)周期性求得ω的值．再根據(jù)f（x）在區(qū)間（

π

4

，

π

2

）上是減函數(shù)，求得2kπ≤φ≤2kπ+

π

2

．結(jié)合f（0）=f（

π

4

），求得φ=

π

4

，可得函數(shù)f（x）的解析式，從而求得f（

π

12

）的值．

解答： 解：由f（0）=f（

π

4

）=-f（

π

2

），可得函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為x=

0+ π 4

2

=

π

8

，和它相鄰的一個(gè)對稱中心為（

π 4 + π 2

2

，0），即（

3π

8

，0）．
再根據(jù)

1

4

T=

1

4

•

2π

ω

=

3π

8

-

π

8

，求得ω=2．
再根據(jù)f（x）在區(qū)間（

π

4

，

π

2

）上是減函數(shù)，2×

π

4

+φ≥2kπ+

π

2

，且2×

π

2

+φ≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得2kπ≤φ≤2kπ+

π

2

．
再根據(jù)f（0）=f（

π

4

），可得sinφ=sin（2×

π

4

+φ）=cosφ，故φ=

π

4

，函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

4

），
∴f（

π

12

）=sin（2•

π

12

+

π

4

）=sin（

π

6

+

π

4

）=sin

π

6

cos

π

4

+cos

π

6

sin

π

4

=

2 + 6

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．