Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上，N為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面PNB
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，M是線段PC上一點(diǎn)，且二面角M-BN-D為60°，試確定M的位置．

Answer 1

分析 （1）先證明PN⊥AD，再證明BN⊥AD，即有AD⊥平面PNB，又AD∥BC，從而可證BC⊥平面PNB．
（2）以N為原點(diǎn)，NA為x軸，NB為y軸，NP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出M是線段PC中點(diǎn)時(shí)，二面角M-BN-D為60°．

解答 證明：（1）∵PA=AD，N為AD的中點(diǎn)，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，又因?yàn)镹為AD的中點(diǎn)，
∴BN⊥AD，又PN∩BN=N
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC
∴BC⊥平面PNB．
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，BC⊥平面PNB，
∴以N為原點(diǎn)，NA為x軸，NB為y軸，NP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則N（0，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），
P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-2，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{ND}$=（-1，0，0），
設(shè)M（a，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}$，則（a，b，c-$\sqrt{3}$）=（-2λ，$\sqrt{3}λ$，-$\sqrt{3}λ$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-2λ}\\{b=\sqrt{3}λ}\\{c=\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}\end{array}\right.$，∴M（-2λ，$\sqrt{3}λ$，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{NM}$=（-2λ，$\sqrt{3}λ$，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），
平面BND的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)平面BMN的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NM}=-2λx+\sqrt{3}λy+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ND}=-x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\frac{λ-1}{λ}$，1），
∵二面角M-BN-D為60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{λ-1}{λ}）^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴M是線段PC中點(diǎn)時(shí)，二面角M-BN-D為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，向量法的運(yùn)用，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．