Question

16．（1）對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x滿足f（-x）=-f（x）則稱f（x）為局部函數(shù)，已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x-4a（a∈R，a≠0）是定義域在R上的局部函數(shù)，則滿足f（-x）=-f（x）的x值是±2
（2）若直角坐標平面內(nèi)兩點A、B滿足條件：點A、B都在f（x）的圖象上；點A、B關于原點對稱，則對稱點（A、B）對是函數(shù)的一個姊妹點對點對（A、B）與（B、A）可看做一個姊妹點對．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{\frac{2}{{e}^{x}}，x≥0}\end{array}\right.$則f（x）的姊妹點對個數(shù)為2．

Answer 1

分析 （1）若f（x）為“局部奇函數(shù)”，則根據(jù)定義計算即可；
（2）根據(jù)題意：“姊妹點”，可知，欲求f（x）的“姊妹點”，只須作出函數(shù)y=x²+2x（x＜0）的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)y=$\frac{2}{{e}^{x}}$（x≥0）交點個數(shù)即可．

解答 解：（1）若f（x）為“局部奇函數(shù)”等價于關于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
當f（x）=ax²+2x-4a時，
由f（-x）+f（x）=0得2a（x²-4）=0
解得x=±2，
（2）根據(jù)題意：“姊妹點對”，可知，
只須作出函數(shù)y=x²+2x（x＜0）的圖象關于原點對稱的圖象，
看它與函數(shù)y=$\frac{2}{{e}^{x}}$（x≥0）交點個數(shù)即可．如圖，
觀察圖象可得：它們的交點個數(shù)是：2．
即f（x）的“姊妹點對”有：2個．
故答案為：±2，2．

點評 本題主要考查與函數(shù)奇偶性有關的新定義，合理地利用圖象法解決，根據(jù)條件建立方程關系是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力，屬于中檔題．