Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象如圖，則函數(shù)$y={log_2}（{x^2}+\frac{2}{3}bx+\frac{c}{3}）$的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-∞，1）
• C． （-2，4）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由圖象得到f′（-2）=f（3）=0，聯(lián)立求得b，c的值，由g（x）＞0求得x的范圍，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)g（x）的減區(qū)間，則函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間可求．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，∴f′（x）=3x²+2bx+c，∴$\left\{\begin{array}{l}{1-4b+c=0}\\{27+6b+c=0}\end{array}\right.$，
由圖可知f′（-2）=f（3）=0，∴解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-18}\end{array}\right.$，
∵y=log₂（x²+$\frac{2}{3}$bx+$\frac{c}{3}$）═log₂（x²-x-6），令g（x）=x²-x-6=（x+2）•（x-3）．
本題即求當(dāng)g（x）＞0時，g（x）的減區(qū)間．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)g（x）＞0時，g（x）的減區(qū)間為（-∞，-2），
故選：A．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意函數(shù)的定義域，是中檔題．