Question

某海海岸線可以近似的看成直線，位于岸邊A處 的海警發(fā)現(xiàn)海中B處有人求救，該海警沒有直接從A處游向B處，而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處，若海警在岸邊的行進(jìn)速度是6米/秒，在海中的行進(jìn)速度是2米/秒，（不考慮水流速度等因素）
（Ⅰ）請問該海警的選擇是否正確？并說明原因
（Ⅱ）在AD上找一點(diǎn)C，使海警從A到B的時(shí)間最短，并求出最短時(shí)間．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分別求出救生員在兩種情況下所用時(shí)間，通過比較兩種情況所用的時(shí)間即可得到答案；
（Ⅱ）設(shè)出C點(diǎn)到D點(diǎn)的距離，列出救生員從A點(diǎn)到B點(diǎn)所用的總時(shí)間，然后通過求導(dǎo)得到當(dāng)C點(diǎn)到D點(diǎn)距離為多少時(shí)能使所用時(shí)間最短，同時(shí)求出了所用時(shí)間的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖可知，A到B的距離為300

2

米．
從A處游向B處的時(shí)間t₁=

300 2

2

=150

2

s，
而沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處的時(shí)間t2=

300

6

+

300

2

=200s．
而150

2

＞200，所以救生員的選擇是正確的；
（Ⅱ）設(shè)CD=x，則AC=300-x，BC=

3002+x2

，
救生員從A經(jīng)C到B的時(shí)間t=

300-x

6

+

3002+x2

2

，0≤x≤300，
t′=-

1

6

+

x

2 90000+x2

，
令t′=0，解得：x=75

2

，
又當(dāng)0＜x＜75

2

時(shí)，t′＜0；
當(dāng)75

2

＜x＜300時(shí)，t′＞0．
所以當(dāng)x=75

2

時(shí)，函數(shù)t有極小值，也就是最小值．最小值為50+100

2

（s）．
答：救生員自A點(diǎn)跑到距D點(diǎn)75

2

米處，然后下海直線游到B處所用時(shí)間最短為50+100

2

秒．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，實(shí)際問題在建模時(shí)一定要注意應(yīng)有實(shí)際意義，此題是中檔題．