Question

4．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)得到如下數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：

	患病	未患病	總計(jì)
沒服用藥	20	30	50
服用藥	x	y	50
總計(jì)	30	N	100

設(shè)從沒服藥的動(dòng)物中任取兩只，未患病數(shù)為ζ；
（I）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)x，y，N的值及ζ的分布列；
（Ⅱ）能夠以97.5%的把握認(rèn)為藥物有效嗎？（參考數(shù)據(jù)如下）
（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$）

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）由x列聯(lián)表能求出x，y，N．由題意得ξ取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）求出K²≈7.762＜5.024，從而沒有97.5%的把握認(rèn)為藥物有效．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）由列聯(lián)表得x=30-20=10，y=50-10=40，N=30+40=70．…（2分）
由題意得ξ取值為0，1，2
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{20}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{38}{245}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{20}^{1}{C}_{30}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{120}{245}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{30}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{87}{245}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{38}{245}$	$\frac{120}{245}$	$\frac{87}{245}$

∴Eξ=$0×\frac{38}{245}+1×\frac{120}{245}+2×\frac{87}{245}$=$\frac{294}{245}$．…（6分）
（2）∵K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100（800-300）^{2}}{30×70×50×50}$≈7.762＜5.024．
故沒有97.5%的把握認(rèn)為藥物有效．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查獨(dú)立檢驗(yàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．