Question

11．隨機(jī)將1，2，…，2n（n∈N^*，n≥2）這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A，B兩組，每組n個(gè)數(shù)，A組最小數(shù)為a₁，最大數(shù)為a₂；B組最小數(shù)為b₁，最大數(shù)為b₂，記ξ=a₂-a₁，η=b₂-b₁．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，事件C發(fā)生的概率為p（C）．
①當(dāng)n=2時(shí)，求p（C）；
②當(dāng)n∈N^*，n＞2時(shí)，求p（C）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=3時(shí)，ξ的取值可能為2，3，4，5，求出隨機(jī)變量ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式可得其數(shù)學(xué)期望Eξ．
（2）根據(jù)C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，利用分類(lèi)加法原理，可得事件C發(fā)生的概率P（C）的表達(dá)式；

解答 解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，ξ的取值可能為2，3，4，5
其中P（ξ=2）=$\frac{4}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=3）=$\frac{6}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=4）=$\frac{6}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=5）=$\frac{4}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
故隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$

ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=2×$\frac{1}{5}$+3×$\frac{3}{10}$+4×$\frac{3}{10}$+5×$\frac{1}{5}$=$\frac{7}{2}$．
（2）①當(dāng)n=2時(shí)，P（C）=2×$\frac{1+1}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
②當(dāng)n＞2時(shí)，P（C）=2×$\frac{1+1{+C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}{+C}_{6}^{3}+…{+C}_{2n-4}^{n-2}}{{C}_{2n}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，屬于中檔題．