Question

已知函數(shù)f（x）滿足2f（x＋2）＝f（x），當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）＝lnx＋ax （），當(dāng)x∈（―4，―2）時(shí)，f（x）的最大值為―4．

（1）求x∈（0，2）時(shí)，f（x）的解析式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)b使得不等式對(duì)于恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)b的取值集合；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）f（x）＝lnx－x；（2）{1}

【解析】試題分析：（1）由已知得：f（x）＝2f（x＋2）＝4f（x＋4），設(shè)x∈（－4，－2）時(shí)，則x＋4∈（0，2），代入x∈（0，2）時(shí)，f（x）＝lnx＋ax（a＜?），求出f（x＋4）＝ln（x＋4）＋a（x＋4），再根據(jù)當(dāng)x∈（－4，－2）時(shí)，f（x）的最大值為－4，利用導(dǎo)數(shù)求得它的最大值，解方程即可求得a的值，進(jìn)而求得結(jié)論；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)b使得不等式對(duì)于x∈（0，1）∪（1，2）時(shí)恒成立，由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）時(shí)，不等式恒成立，利用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求得b的值．

試題解析：（1）由已知，f（x）＝2f（x＋2）＝4f（x＋4）

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）＝lnx＋ax（a＜－）

當(dāng)x∈（－4，－2）時(shí)，x＋4∈（0，2），

∴f（x＋4）＝ln（x＋4）＋a（x＋4）

∴當(dāng)x∈（－4，－2）時(shí)，f（x）＝4f（x＋4）＝4ln（x＋4）＋4a（x＋4）

∴f '（x）＝＋4a＝4a•，

∵a＜?，∴?4＜??4＜?2，

∴當(dāng)x∈（?4， ??4）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，

當(dāng)x∈（??4，?2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，

∴f（x）max＝f（??4）＝4ln（?）＋4a（?）＝?4，∴a＝－1

∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）＝lnx－x

（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）時(shí)，不等式恒成立，

即為恒成立，

①當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，

⇒b＞x?lnx，令g（x）＝x?lnx，x∈（0，1）

則g′（x）＝1?＝

令h（x）＝2?lnx?2，

則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＝＝＜0

∴h（x）＞h（1）＝0，∴g′（x）＝＞0，

∴g（x）＜g（1）＝1，故此時(shí)只需b≥1即可；

②當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，

⇒b＜x?lnx，令φ（x）＝x?lnx，x∈（1，2）

則φ′（x）＝1?＝

令h（x）＝2?lnx?2，

則當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h′（x）＝＝＞0

∴h（x）＞h（1）＝0，∴φ′（x）＝＞0，

∴φ（x）＞φ（1）＝1，故此時(shí)只需b≤1即可，

綜上所述：b＝1，因此滿足題中b的取值集合為：{1}

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，函數(shù)的周期性，不等式恒成立問題，分類討論．