Question

5．如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點(diǎn)，AC⊥BC，且AC=BC=2
（1）求證：AM⊥平面EBC
（2）（文）求三棱錐C-ABE的體積．
（2）（理）求二面角A-EB-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EA⊥AC，從而EA⊥平面ABC，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，以AC和AE為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能證明AM⊥平面EBC．
（2）（文）由V_C-ABE=V_E-ABC，能求出三棱錐C-ABE的體積．
（2）（理）求出平面EAB的法向量和平面EBC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角A-EB-C的大�。�

解答 證明：（1）∵四邊形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，
∴以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，以AC和AE為y軸和z軸，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
設(shè)EA=AC=BC=2，則A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M(jìn)是正方形ACDE的對(duì)角線的交點(diǎn)，∴M（0，1，1）．
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{EC}$=0，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CB}$=0，∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC．
（2）（文） V_C-ABE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
（2）（理）設(shè)平面EAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AE}$，且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0$，且$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）．
又∵$\overrightarrow{AM}$為平面EBC的一個(gè)法向量，且$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AM}|}$=-$\frac{1}{2}$，
設(shè)二面角A-EB-C的平面角為θ，則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AM}$＞|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴二面角A-EB-C的大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．