Question

10．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有2個紅球、3個白球的甲箱和裝有2個紅球、2個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．
（Ⅰ）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（Ⅱ）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
（Ⅲ）若只從甲箱中抽取3個球，記抽到的三個球中紅球的數(shù)目是隨機變量Y，求Y的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （I）設“顧客抽獎1次能獲獎”為事件A，則P（A）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{4}^{1}}$．
（II）設“顧客抽獎1次能獲一等獎”為事件B，則P（B）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{5}$．則X可能取值為0，1，2，3，X～B（3，$\frac{1}{5}$），P（X=k）=${∁}_{3}^{k}$$（\frac{1}{5}）^{k}（\frac{4}{5}）^{3-k}$，即可得出其分布列與數(shù)學期望．
（III）Y的可能取值為0，1，2，利用超幾何分別可得：P（Y=k）=$\frac{{∁}_{2}^{k}{∁}_{3}^{3-k}}{{∁}_{5}^{3}}$．

解答 解：（I）設“顧客抽獎1次能獲獎”為事件A，則P（A）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{10}$．
（II）設“顧客抽獎1次能獲一等獎”為事件B，則P（B）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{5}$．則X可能取值為0，1，2，3，X～B（3，$\frac{1}{5}$），P（X=k）=${∁}_{3}^{k}$$（\frac{1}{5}）^{k}（\frac{4}{5}）^{3-k}$，其分布列為：

X	0	1	2	3
P（X）	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∴E（X）=$3×\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．
（III）Y的可能取值為0，1，2，利用超幾何分別可得：P（Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，P（Y=1）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，P（Y=2）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$．∴分布列為：

Y	0	1	2
P（Y）	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

∴E（Y）=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{6}{10}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了古典概率計算公式、二項分布列及其數(shù)學期望、超幾何分布列及其數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．