Question

19．已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f（x）=6x-2．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，點(diǎn)（n，s_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求f（x）和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{3}{{a{\;}_na{\;}_{n+1}}}，T_n^{\;}$是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和并證明$\frac{3}{7}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）由題意可設(shè)二次函數(shù)y=f（x）=ax²+bx（a≠0），f′（x）=2ax+b=6x-2．可得a，b，于是f（x）=3x²-2x．點(diǎn)（n，s_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，可得S_n=3n²-2n，利用n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．
（II）b_n=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法可得T_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 解：（I）由題意可設(shè)二次函數(shù)y=f（x）=ax²+bx（a≠0），f′（x）=2ax+b=6x-2．
∴2a=6，b=-2，解得a=3，b=-2．
∴f（x）=3x²-2x．
∵點(diǎn)（n，s_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴S_n=3n²-2n，
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=3-2=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，n=1時(shí)也成立．
∴a_n=6n-5．
（II）b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{7}-\frac{1}{13}）$+…+$（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{6n+1}）$，
∵數(shù)列$\{-\frac{1}{6n+1}\}$單調(diào)遞增，T₁=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{7}）$=$\frac{3}{7}$．
∴T₁≤T_n$＜\frac{1}{2}$，即$\frac{3}{7}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．