Question

1．已知f（x）=x²+ax+$\frac{9}{a-1}$，（a為常數(shù)且a≠1），
（1）若不等式f（x）＜0的解集為{x|-1＜x＜3}，求a的值；
（2）若a＞1，求f（1）的最小值．

Answer 1

分析 （1）將x=-1，3代入f（x），得到關(guān)于a的方程組，解出即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）由題意得：-1，3是方程x²+ax+$\frac{9}{a-1}$=0的根，
故$\left\{\begin{array}{l}{1-a+\frac{9}{a-1}=0}\\{9+3a+\frac{9}{a-1}=0}\end{array}\right.$，解得：a=-2；
（2）a＞1時(shí)，f（1）=a+1+$\frac{9}{a-1}$=（a-1）+$\frac{9}{a-1}$+2≥2$\sqrt{（a-1）•\frac{9}{a-1}}$+2=8，
當(dāng)且僅當(dāng)a-1=$\frac{9}{a-1}$時(shí)“=”成立．
即f（1）的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．