Question

10．已知長方體長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)接于球O，AB=1，AD=2，AA₁=3，則該球的表面積為（　�。�

• A． 12π
• B． 13π
• C． 14π
• D． 15π

Answer 1

分析 由長方體的對角線公式，算出長方體對角線AC₁=$\sqrt{14}$，從而得到長方體外接球的直徑等于$\sqrt{14}$，得半徑R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$
，結(jié)合球的表面積公式即可得到該球的表面積．

解答 解：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，
∴長方體的對角線AC₁=$\sqrt{1+4+9}$=$\sqrt{14}$
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各頂點(diǎn)都在同一球面上，
∴球的一條直徑為AC₁=$\sqrt{14}$，可得半徑R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$
因此，該球的表面積為S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=14π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題給出長方體的長、寬、高，求長方體外接球的表面積，著重考查了長方體的對角線公式、長方體的外接球和球的表面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．