Question

已知函數(shù)f（x）=

3x，(x≥0) log3(-x)，(x＜0)

，設(shè)函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x）+t，則關(guān)于g（x）的零點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是

 

．（請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確答案的序號(hào)）
①t=

1

4

時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn)         
②-2＜t＜

1

4

時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)
③t=-2時(shí)，g（x）有三個(gè)零點(diǎn)        
④t＜-2時(shí)，g（x）有四個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)，令g（x）=0，結(jié)合條件討論方程的根的情況，結(jié)合圖象，即可判斷4個(gè)選項(xiàng)，可得①②③正確，④錯(cuò)誤．

解答： 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，如右．
對(duì)于①，t=

1

4

時(shí)，g（x）=f²（x）+f（x）+

1

4

，
令g（x）=0，則f（x）=-

1

2

，由圖象可得y=-

1

2

和y=f（x）
只有一個(gè)交點(diǎn)，則零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故①對(duì)；
對(duì)于②，-2＜t＜

1

4

時(shí)，由f²（x）+f（x）+t=0，
判別式△=1-4t，可得0＜

△

＜3，解得f（x）=

-1± △

2

，
即有-

1

2

＜f（x）＜1，或-2＜f（x）＜-

1

2

，
由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，則有2個(gè)零點(diǎn)，故②對(duì)；
對(duì)于③，t=-2時(shí)，g（x）=0，解得f（x）=-2或1，
由圖象可得x₁=0，x₂=-3，x₃=-

1

9

，則有3個(gè)零點(diǎn)，故③對(duì)；
對(duì)于④，t＜-2時(shí)，由f²（x）+f（x）+t=0，
判別式△=1-4t，可得

△

＞3，解得f（x）=

-1± △

2

，
則有f（x）＞1或f（x）＜-2，則由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，
則有2個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的能力，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．