Question

復(fù)平面內(nèi)，兩點(diǎn)M、N所對(duì)應(yīng)的非零復(fù)數(shù)是α，β（O是原點(diǎn)）．
（1）若α²+β²=0，則△OMN是

 

三角形．
（2）若2α²-2αβ+β²=0，則△OMN是

 

三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）由α²+β²=0變形得（α+βi）（α-βi）=0，進(jìn)一步得到α=βi或α=-βi，可得|α|=|±βi|=|β||i|=|β|，得到△OMN是等腰三角形，又設(shè)β=x+yi，則α=-y+xi或y-xi，由

OM

•

ON

=0得OM⊥ON．可得△OMN是等腰直角三角形；
（2）根據(jù)題意得α²+（α-β）²=0，得[α+（α-β）i][α-（α-β）i]=0，得到|OM|=|MN|，△OMN是等腰三角形，再設(shè)α=x+yi，則α-β=±（xi+y），由

OM

•

ON

=0得△OMN是等腰直角三角形．

解答： 解：（1）由α²+β²=0，得（α+βi）（α-βi）=0，
∴α=βi或α=-βi，
|α|=|±βi|=|β||i|=|β|，
∴OM=ON，
∴△OMN是等腰三角形，
又設(shè)β=x+yi，則α=-y+xi或y-xi，
∴N（x，y），M（-y，x）或（y，-x），
則

OM

•

ON

=-xy+xy=0，∴OM⊥ON．
∴△OMN是直角三角形．
∴△OMN是等腰直角三角形；
（2）根據(jù)題意得α²+（α-β）²=0，
∴[α+（α-β）i][α-（α-β）i]=0，
∴|α|=|（α-β）i|
∴|α|=|α-β|，
即|OM|=|MN|．
∴△OMN是等腰三角形，
設(shè)α=x+yi，
則α-β=±（xi+y），
∴

OM

•

ON

=0．
∴△OMN是等腰直角三角形．
故答案為：（1）等腰直角三角形；（2）等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了平面向量模的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．