8.如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AD與平面BCD所成的角為30°,且AB=BC=2;
(1)求三棱錐A-BCD的體積;
(2)設(shè)M為BD的中點,求異面直線AD與CM所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

分析 (1)由AB⊥平面BCD,得CD⊥平面ABC,由此能求出三棱錐A-BCD的體積.
(2)以C為原點,CD為x軸,CB為y軸,過C作平面BCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,由此能求出異面直線AD與CM所成角的大。

解答 解:(1)如圖,因為AB⊥平面BCD,
所以AB⊥CD,又BC⊥CD,所以CD⊥平面ABC,
因為AB⊥平面BCD,AD與平面BCD所成的角為30°,故∠ADB=30°,
由AB=BC=2,得AD=4,AC=2$\sqrt{2}$,
∴BD=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$,CD=$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
則VA-BCD=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×AB$=$\frac{1}{6}×BC×CD×AB$=$\frac{1}{6}×2×2\sqrt{2}×2$
=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
(2)以C為原點,CD為x軸,CB為y軸,過C作平面BCD的垂線為z軸,
建立空間直角坐標系,
則A(0,2,2),D(2$\sqrt{2}$,0,0),C(0,0,0),B(0,2,0),M($\sqrt{2},1,0$),
$\overrightarrow{AD}$=(2$\sqrt{2}$,-2,-2),$\overrightarrow{CM}$=($\sqrt{2},1,0$),
設(shè)異面直線AD與CM所成角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{CM}|}$=$\frac{2}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$.
θ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$.
∴異面直線AD與CM所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

點評 本題考查了直線和平面所成角的計算,考查了利用等積法求點到面的距離,變換椎體的頂點,利用其體積相等求空間中點到面的距離是較有效的方法,此題是中檔題.

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