Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x+1}-\frac{{2{f^'}（1）}}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）證明：當(dāng)0＜x＜1時，（x-1）f（x）＜lnx．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），切線切線方程即可；
（2）問題等價于：$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＞0$，令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
因為$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{2f'（1）}{x^2}$，…（2分）
所以$f'（1）=\frac{1}{2}+2f'（1）$，即$f'（1）=-\frac{1}{2}$，…（3分）
所以$f（x）=\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{x^2}$，…（4分）
令x=1，得f（1）=1，
所以函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：
$y-1=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-3=0．…（6分）
（2）因為0＜x＜1，所以不等式等價于：$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＞0$，…（7分）
因為$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}=\frac{1}{{1-{x^2}}}（2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}）$，
令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，則$g'（x）=\frac{{-{x^2}+2x-1}}{x^2}=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}$，…（9分）
因為0＜x＜1，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
又因為g（1）=0，所以，當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＞g（1）=0，
此時，$\frac{1}{{1-{x^2}}}•g（x）＞0$，即$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＞0$，…（11分）
所以，當(dāng)0＜x＜1時，（x-1）•f（x）＜lnx．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．