Question

19．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|${\overrightarrow a}$|=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$|${\overrightarrow b}$|，且（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）⊥（3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$），則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，數(shù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，∵（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）⊥（3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$），|${\overrightarrow a}$|=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$|${\overrightarrow b}$|，
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•（3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=3${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=3•$\frac{8}{9}$${|\overrightarrow|}^{2}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}|\overrightarrow|$•|$\overrightarrow$|cosθ-2${|\overrightarrow|}^{2}$=0，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，數(shù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．