Question

11．如圖，已知三棱錐A-BCD中，DB=DC=BA=2，BD⊥DC，AB⊥平面BCD，E為BC的中點．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）求二面角B-AC-D的大��；
（3）在棱AC上是否存在點F，使得EF⊥AD？

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥DE，BC⊥DE，從而DE⊥平面ABC，由此能證明AC⊥DE．
（2）以D為坐標原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的直線這z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的大�。�
（3）假設(shè)存在點F（a，b，c）在棱AC上，則$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AC}$，λ∈[0，1]，求出$\overrightarrow{EF}=（1-2λ，-1+2λ，2-2λ）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，2）$，由EF⊥AD，能求出存在點F的坐標．

解答 證明：（1）∵AB⊥平面BCD，DE?平面BCD，∴AB⊥DE，
又∵△BCD為等腰直角三角形，E為BC的中點，∴BC⊥DE，
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴AC⊥DE．
解：（2）在平面ABD內(nèi)，過點D作BA的平行線DP，
∴DP⊥平面BCD，∴DB，DC，DP兩兩垂直，
以D為坐標原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的直線這z軸，建立如圖空間直角坐標系，
則D（0，0，0）A（2，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），
∵DE⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{DE}=（1，1，0）$為平面ABC的一個法向量，
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$為平面ACD的一個法向量，
$\overrightarrow{DC}=（0，2，0），\overrightarrow{DA}=（2，0，2）$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{2x+2z=0}\\{2y=0}\end{array}}\right.$，取x=1，則z=-1，y=0，故$\overrightarrow n=（1，0，-1）$
∴$cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{DE}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{2}$，
∴二面角B-AC-D的大小為$\frac{π}{3}$．
（3）假設(shè)存在點F（a，b，c）在棱AC上，則$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AC}$，λ∈[0，1]
即（a-2，b，c-2）=（-2λ，2λ，-2λ）
∴F（2-2λ，2λ，2-2λ），
則$\overrightarrow{EF}=（1-2λ，-1+2λ，2-2λ）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，2）$，
有$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DA}=2-4λ+4-4λ=0$，即$λ=\frac{3}{4}$，
即存在點$F（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$為AC的靠近點C的四等分點使得EF⊥AD．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．