Question

（1）“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列”的充分不必要條件．
（2）“a=2”是“函數(shù)f（x）=|x-a|在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)”的充要條件．
（3）已知命題p₁：?x∈R，使得x²+x+1＜0；p₂：?x∈[1，2]，使得x²-1≥0．則p₁∧p₂是真命題．
（4）設a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C的對邊，若a=1，b=

3

．則A=30°是B=60°的必要不充分條件．
其中真命題的序號是

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：（1），利用等比數(shù)列的定義可判斷“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列”的充分條件，通過舉例，說明“不必要條件”成立，從而可判斷（1）；
（2），舉例如a=1時，f（x）在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)，可判斷（2）．
（3），易知命題p₁：?x∈R，使得x²+x+1＜0為假命題；p₂：?x∈[1，2]，使得x²-1≥0為真命題，利用復合命題的性質可知p₁∧p₂是假命題，可判斷（3）；
（4），利用正弦定理與及充分必要條件的概念，可判斷（4）．

解答： 解：對于（1），數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，設其公比為q，則

an+1an+2

anan+1

=q²為定值，數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列，充分性成立；
反之，若數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列成立，例如數(shù)列1，3，2，6，4，12，8…滿足數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列，但數(shù)列{a_n}不為等比數(shù)列，
故“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列”的充分不必要條件，故（1）正確；
對于（2），例如a=1時，f（x）在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)，所以）“a=2”不是“函數(shù)f（x）=|x-a|在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)”的充要條件，故（2）不對；
對于（3），由于x²+x+1=（x+

1

2

）²+

3

4

＞0恒成立，故命題p₁：?x∈R，使得x²+x+1＜0為假命題；
p₂：?x∈[1，2]，使得x²-1≥0，為證明題，故p₁∧p₂是假命題，即（3）錯誤；
對于（4），設a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C的對邊，若a=1，b=

3

．則A=30°是B=60°的必要不充分條件．
因為a=1．b=

3

，若A=30°”成立，由正弦定理

1

sin30°

=

3

sinB

，所以sinB=

3

2

，所以B=60°或120°，
反之，若“B=60°”成立，由正弦定理得

1

sinA

=

3

sin60°

，得sinA=

1

2

，因為a＜b，所以A=30°，
所以A=30°”是“B=60°”的必要不充分條件．故（4）對；
綜上所述，真命題的序號是①④，
故答案為：①④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查等比關系的判斷，考查復合命題、正弦定理及充分必要條件的理解與應用，屬于中檔題．