Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3n²-n，b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的前n項(xiàng)和求得首項(xiàng)，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由S_n=3n²-n，得a₁=S₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（3{n}^{2}-n）-[3（n-1）^{2}-（n-1）]$
=6n-4．
a₁=2適合上式，
∴a_n=6n-4；
（2）由b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=\frac{1}{6}（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{6}（\sqrt{{a}_{2}}-\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{3}}-\sqrt{{a}_{2}}+…+\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）$
=$\frac{1}{6}（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{1}}）=\frac{1}{6}（\sqrt{6n+2}-\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．