Question

已知函數(shù)f（x）=

x

ex

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）過點P（0，

4

e2

）作直線l與曲線y=f（x）相切，求證：這樣的直線l至少有兩條，且這些直線的斜率之和m∈（

e2-1

e2

，

2e3-1

e2

）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)后根據(jù)正負(fù)求單調(diào)性，及極值；
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖象可得結(jié)果．

解答： （Ⅰ）解：由題知f′（x）=

1-x

ex

，
當(dāng)f'（x）＞0時，x＜1，當(dāng)f'（x）＜0時，x＞1，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1），減區(qū)間為（1，+∞），
其極大值為f（1）=

1

e

，無極小值．
（Ⅱ）證明：設(shè)切點為（x₀，f（x₀）），則所作切線的斜率k=

1-x0

ex0

，
所以直線l的方程為：y-

x0

ex0

=

1-x0

ex0

（x-x₀），
注意到點點P（0，

4

e2

）在l上，所以

4

e2

-

x0

ex0

=

1-x0

ex0

（-x₀），
整理得：

x02

ex0

-

4

e2

=0，故此方程解的個數(shù)，即為可以做出的切線條數(shù)，
令g（x）=

x2

ex

-

4

e2

，則g′（x）=-

x(x-2)

ex

，
當(dāng)g'（x）＞0時，0＜x＜2，當(dāng)g'（x）＜0時，x＜0或x＞2，
所以，函數(shù)g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，2）上單調(diào)遞增，
注意到g（0）=-

4

e2

＜0，g（2）=0，g（-1）=e-

4

e2

＞0，
所以方程g（x）=0的解為x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即過點P（0，

4

e2

）恰好可以作兩條與曲線y=f（x）相切的直線．
當(dāng)x=2時，對應(yīng)的切線斜率k₁=f′（2）=-

1

e2

，
當(dāng)x=t時，對應(yīng)的切線斜率k₂=

1-t

et

，
令h（t）=

1-t

et

（-1＜t＜0），則h′（t）=

t-2

et

＜0，
所以h（t）在（-1，0）上為減函數(shù)，即1=h（0）＜h（t）＜h（-1）=2e，1＜k₂＜2e，
所以m=k₁+k₂∈（

e2-1

e2

，

2e3-1

e2

）．

點評：本題綜合考查的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想．