Question

14．設(shè)命題p：函數(shù)y=log₂（ax-1）在區(qū)間[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，命題q：“?x∈R，ax²-2ax+3＞0”
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p為真命題，則t=ax-1在區(qū)間[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增且恒為正，解得實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，則命題p，q一真一假，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若命題p為真命題，
即函數(shù)y=log₂（ax-1）在區(qū)間[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，
則t=ax-1在區(qū)間[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增且恒為正，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a-1＞0\end{array}\right.$，
解得：a＞1；
（2）若命題q：“?x∈R，ax²-2ax+3＞0”為真命題，
則a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4{a}^{2}-12a＜0\end{array}\right.$，
解得：0≤a＜3，
若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，則命題p，q一真一假，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ a＜0，或a≥3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ 0≤a＜3\end{array}\right.$，
解得：0≤a≤1，或a≥3．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了全稱命題，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合命題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識點，難度中檔．