Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點F₁、F₂，離心率為

1

2

，雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），直線x=2與雙曲線的交點為A、B，且|AB|=

4 21

3

．
（Ⅰ）求橢圓與雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點F₂的直線l與橢圓交于M、N兩點，交雙曲線與P、Q兩點，當△F₁MN（F₁為橢圓的左焦點）的內(nèi)切圓的面積取最大值時，求△F₁PQ的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

a2-b2 a = 1 2 2 4a2 b2 +a2 = 4 21 3

，由此能求出橢圓和雙曲線方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立得（3m²+4）y²+6my-9=0，由韋達定理和弦長公式推導出△F₁MN（F₁為橢圓的左焦點）的內(nèi)切圓的面積取最大值時，過點F₂的直線l的方程為x=1，由此能求出△F₁PQ的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

a2-b2 a = 1 2 2 4a2 b2 +a2 = 4 21 3

，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，雙曲線方程為

y2

4

-

x2

3

=1．
（Ⅱ）∵三角形內(nèi)切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F₁MN的周長是定值8，
∴只需求出△F₁MN面積的最大值．
設(shè)直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
于是S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=12

m2+1 (3m2+4)2

．
∵

m2+1

(3m2+4)2

=

1

9m2+15+ 1 m2+1

=

1

9(m2+1)+ 1 m2+1 +6

≤

1

16

，
當且僅當m=0時，△F₁MN（F₁為橢圓的左焦點）的內(nèi)切圓的面積取最大值，
∴△F₁MN（F₁為橢圓的左焦點）的內(nèi)切圓的面積取最大值時，過點F₂的直線l的方程為x=1，
聯(lián)立

x=1 y2 4 - x2 3 =1

，得P（1，

4 3

3

），Q（1，-

4 3

3

），F(xiàn)₁（-1，0），
∴|PF₁|=|QF₁|=

(1+1)2+( 4 3 3 -0)2

=

2 21

3

，|PQ|=

8 3

3

，|F₁F₂|=2，
∴△F₁PQ的面積S=

1

2

×|PQ|×|F1F2|=

1

2

×

8 3

3

×2=

8 3

3

．

點評：本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，考查三角形的面積的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式的合理運用．