Question

2．已知函數(shù)函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的值域
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意f（x）是復(fù)合函數(shù)，將其分解成基本函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求值域．
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意：函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$是復(fù)合函數(shù)，
令-x²-4x+2=t，則函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$轉(zhuǎn)化為g（t）=$（\frac{1}{3}）^{t}$，可知函數(shù)g（t）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
函數(shù)t：開口向下，對稱軸x=-2，
當(dāng)x=-2時，函數(shù)t取得最大值為6．
故得t∈（-∞，6]．
那么函數(shù)g（t）=$（\frac{1}{3}）^{t}$的最小值為g（6）_max=$\frac{1}{{3}^{6}}$，即函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{1}{{3}^{6}}$．
故得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{{3}^{6}}$，+∞）．
（2）由（1）可知：函數(shù)t在x∈（-∞，-2）上是單調(diào)遞增，在x∈（-2，+∞）上單調(diào)遞減．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”可得：
∴函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2）．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合函的值域和單調(diào)性的求法．屬于基礎(chǔ)題．