Question

6．已知n為滿(mǎn)足S=a+${C}_{27}^{1}$+${C}_{27}^{2}$+${C}_{27}^{3}$+…+${C}_{27}^{27}$（a≥3）能被9整除的正數(shù)a的最小值，則（x-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為（　　）

• A． 第6項(xiàng)
• B． 第7項(xiàng)
• C． 第11項(xiàng)
• D． 第6項(xiàng)和第7項(xiàng)

Answer 1

分析 S=a+${C}_{27}^{1}$+${C}_{27}^{2}$+${C}_{27}^{3}$+…+${C}_{27}^{27}$=a+（1+1）²⁷-${∁}_{27}^{0}$=（9-1）⁹+a-1=9$（{9}^{8}-{∁}_{9}^{1}{9}^{7}+…+{∁}_{9}^{8}）$+a-2，由a≥3，可得S能被9整除的正數(shù)a的最小值是a-2=9，a=11．
即n=11，$（x-\frac{1}{x}）^{11}$的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{11}^{r}$${x}^{11-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{11}^{r}$x^11-2r，只考慮r為偶數(shù)的情況，

解答 解：S=a+${C}_{27}^{1}$+${C}_{27}^{2}$+${C}_{27}^{3}$+…+${C}_{27}^{27}$=a+（1+1）²⁷-${∁}_{27}^{0}$=2²⁷+a-1=8⁹+a-1=（9-1）⁹+a-1=9⁹-${∁}_{9}^{1}{9}^{8}$+…+${∁}_{9}^{8}$×9-1+a-1=9$（{9}^{8}-{∁}_{9}^{1}{9}^{7}+…+{∁}_{9}^{8}）$+a-2，
∵a≥3，∴S能被9整除的正數(shù)a的最小值是a-2=9，∴a=11．
∴n=11，
∴$（x-\frac{1}{x}）^{11}$的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{11}^{r}$${x}^{11-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{11}^{r}$x^11-2r，
只考慮r為偶數(shù)的情況，T₅=${∁}_{11}^{4}$x³，T₇=${∁}_{11}^{6}$x^-1，T₉=${∁}_{11}^{8}$x^-5，…，
可知：系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、整除的應(yīng)用，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．