分析 (I)連接AB1,B1C,B1C∩BC1=E.利用三角形中位線定理可得:OE∥AB1,再利用線面平行的判定定理即可證明OE∥平面A1AB;
(II)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面的法向量的夾角即可得出二面角的平面角
解答 解析:(Ⅰ)證明:連接B1C和AB1,則E也是B1C的中點(diǎn).
∵O為AC的中點(diǎn),∴OE∥AB1,
又OE?平面A1AB,AB1?平面A1AB,
∴OE∥平面A1AB.
(Ⅱ)連接A1O和OB.
∵AA1=A1C=AC=2,∴OA1⊥AC.
∵A1-AC-B是直二面角,∴A1O⊥平面ABC.
∵AB=BC,O為AC的中點(diǎn),∴OB⊥AC,
∴OA1,OB,OC兩兩垂直,如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),
以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)B,OC,OA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,-1,0),A1(0,0,√3),B(1,0,0),C1(0,2,√3),
∴→AA1=(0,1,√3),→A1B=(1,0,-√3),→A1C1=(0,2,0).
設(shè)平面AA1B的一個(gè)法向量為→u=(x,y,z),則→AA1⊥→u,→A1B⊥→u,
∴{y+√3z=0x−√3z=0,令z=1,得x=√3,y=−√3,則→u=(√3,−√3,1).
同理,可求的平面A1BC1的一個(gè)法向量為→v=(√3,0,1).
∴cos<→u,→v>=→u•→v|→u||→v|=3+1√7×2=2√77,
結(jié)合圖形可知,二面角A-A1B-C1的平面角是鈍角,
∴二面角A-A1B-C1的余弦值為−2√77.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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