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1.三棱柱ABC-A1B1C1中,A1-AC-B是直二面角,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且∠ABC=90°,O為AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)若E是BC1的中點(diǎn),求證:OE∥平面A1AB;
(Ⅱ)求二面角A-A1B-C1的余弦值.

分析 (I)連接AB1,B1C,B1C∩BC1=E.利用三角形中位線定理可得:OE∥AB1,再利用線面平行的判定定理即可證明OE∥平面A1AB;
(II)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面的法向量的夾角即可得出二面角的平面角

解答 解析:(Ⅰ)證明:連接B1C和AB1,則E也是B1C的中點(diǎn).
∵O為AC的中點(diǎn),∴OE∥AB1
又OE?平面A1AB,AB1?平面A1AB,
∴OE∥平面A1AB.
(Ⅱ)連接A1O和OB.
∵AA1=A1C=AC=2,∴OA1⊥AC.
∵A1-AC-B是直二面角,∴A1O⊥平面ABC.
∵AB=BC,O為AC的中點(diǎn),∴OB⊥AC,
∴OA1,OB,OC兩兩垂直,如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),
以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)B,OC,OA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,-1,0),A1(0,0,3),B(1,0,0),C1(0,2,3),
AA1=(0,1,3),A1B=(1,0,-3),A1C1=(0,2,0).
設(shè)平面AA1B的一個(gè)法向量為u=xyz,則AA1uA1Bu,
{y+3z=0x3z=0,令z=1,得x=3y=3,則u=331
同理,可求的平面A1BC1的一個(gè)法向量為v=301
cosuv=uv|u||v|=3+17×2=277,
結(jié)合圖形可知,二面角A-A1B-C1的平面角是鈍角,
∴二面角A-A1B-C1的余弦值為277

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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