Question

1．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁-AC-B是直二面角，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且∠ABC=90°，O為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E是BC₁的中點(diǎn)，求證：OE∥平面A₁AB；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （I）連接AB₁，B₁C，B₁C∩BC₁=E．利用三角形中位線定理可得：OE∥AB₁，再利用線面平行的判定定理即可證明OE∥平面A₁AB；
（II）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量的夾角即可得出二面角的平面角

解答 解析：（Ⅰ）證明：連接B₁C和AB₁，則E也是B₁C的中點(diǎn)．
∵O為AC的中點(diǎn)，∴OE∥AB₁，
又OE?平面A₁AB，AB₁?平面A₁AB，
∴OE∥平面A₁AB．
（Ⅱ）連接A₁O和OB．
∵AA₁=A₁C=AC=2，∴OA₁⊥AC．
∵A₁-AC-B是直二面角，∴A₁O⊥平面ABC．
∵AB=BC，O為AC的中點(diǎn)，∴OB⊥AC，
∴OA₁，OB，OC兩兩垂直，如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，-1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，2，0）．
設(shè)平面AA₁B的一個(gè)法向量為$\overrightarrow u=（x\;，\;y\;，\;z）$，則$\overrightarrow{A{A_1}}⊥\overrightarrow{{u_{\;}}}\;，\;\overrightarrow{{A_1}B}⊥\overrightarrow u$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{x-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，令z=1，得$x=\sqrt{3}\;，\;y=-\sqrt{3}$，則$\overrightarrow u=（\sqrt{3}\;，\;-\sqrt{3}\;，\;1）$．
同理，可求的平面A₁BC₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow v=（\sqrt{3}\;，\;0\;，\;1）$．
∴$cos＜\overrightarrow u\;，\;\overrightarrow v＞=\frac{\overrightarrow u•\overrightarrow v}{|\overrightarrow u||\overrightarrow v|}=\frac{3+1}{{\sqrt{7}×2}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
結(jié)合圖形可知，二面角A-A₁B-C₁的平面角是鈍角，
∴二面角A-A₁B-C₁的余弦值為$-\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．