Question

11．下面是某港口一天中部分時刻測量得到的水深表（時間單位：小時，水深單位：米）

時刻	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
水深	6.5	8.5	6.5	4.5	6.5	8.5	6.5	4.5	6.5

若該港口水深關(guān)于時間的函數(shù)可以用y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），x∈[0，24）近似地表示：
（1）試求出函數(shù)的解析式；
（2）某船吃水深度（船底與水面之間的距離）是4米，安全條例規(guī)定要有大于或等于3.5米的安全間隙（船底與海洋底之間的距離），問一天中在x∈[0，12]時間段，若要使此船連續(xù)停泊該港口時間最長，此船應(yīng)何時進入該港口、何時離開該港口？

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{B+A=8.5}\\{B-A=4.5}\end{array}\right.$，T=12，由此能求出函數(shù)的解析式．
（2）由已知得2sin$\frac{π}{6}x$+6.5≥4+3.5，從而當x∈[0，12]時，$\frac{6}{π}arcsin\frac{1}{2}$≤x≤6-$\frac{6}{π}arcsin\frac{1}{2}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）該港口水深關(guān)于時間的函數(shù)可以用y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），x∈[0，24）近似地表示，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{B+A=8.5}\\{B-A=4.5}\end{array}\right.$，
解得B=6.5，A=2，
由某港口一天中部分時刻測量得到的水深表，得到T=12，
∴$\frac{2π}{ω}$=12，解得ω=$\frac{π}{6}$．
∴y=2sin$\frac{π}{6}x$+6.5，x∈[0，24）．
（2）∵某船吃水深度（船底與水面之間的距離）是4米，安全條例規(guī)定要有大于或等于3.5米的安全間隙（船底與海洋底之間的距離），
∴2sin$\frac{π}{6}x$+6.5≥4+3.5，則sin$\frac{π}{6}x$≥$\frac{1}{2}$，
當x∈[0，12]時，$\frac{6}{π}arcsin\frac{1}{2}$≤x≤6-$\frac{6}{π}arcsin\frac{1}{2}$，即1≤x≤5，
∴此船應(yīng)在00：00進入該港口，并在05：00離開該港口．

點評 本題考查三角函數(shù)解析式的求法，考查要使此船連續(xù)停泊該港口時間最長，此船應(yīng)何時進入該港口、何時離開該港口的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．