Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g（x）=f（x）+

1

2

x²-bx．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）的兩個極值點，若b≥

7

2

，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線與已知直線垂直，列出方程，即可求解a的值．
（Ⅱ）求出g'（x），列出求解函數(shù)的極值點的方程，利用韋達定理，化簡g（x₁）-g（x₂），構造新函數(shù)，通過新函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x+alnx，
∴f′(x)=1+

a

x

，
又l與直線x+2y=0垂直，∴k=f′（1）=1+a=2，
∴a=1．

（Ⅱ） g′(x)=

1

x

+x-(b-1)=

x2-(b-1)x+1

x

，
令g′（x）=0，得x²-（b-1）x+1=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，
∵g(x1)-g(x2)=[lnx1+

1

2

x

2 1

-(b-1)x1]-[lnx2+

1

2

x

2 2

-(b-1)x2]
=ln

x1

x2

+

1

2

(

x

2 1

-

x

2 2

)-(b-1)(x1-x2)=ln

x1

x2

-

1

2

(

x1

x2

-

x2

x1

)，
∵0＜x₁＜x₂，所以設t=

x1

x2

(0＜t＜1)，
h(t)=lnt-

1

2

(t-

1

t

)(0＜t＜1)，
h′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t2

)=-

(t-1)2

2t2

＜0，所以h（t）在（0，1）單調(diào)遞減，
又b≥

7

2

，  ∴(b-1)2≥

25

4

，
即(x1+x2)2=

(x1+x2)2

x1•x2

=t+

1

t

+2≥

25

4

，
∵0＜t＜1，  ∴4t2-17t+4≥0，  ∴0＜t≤

1

4

，
∴h(t)≥h(

1

4

)=

15

8

-2ln2，
故所求的最小值是

15

8

-2ln2．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值的求法韋達定理以及構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．