Question

1．若曲線f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間（k-2，k+2）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2，3）．

Answer 1

分析 因?yàn)閒（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），導(dǎo)函數(shù)f'（x）的零點(diǎn)為x=1；要使得f（x）在區(qū)間（k-2，k+2）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，即$\left\{\begin{array}{l}{k-2＜1＜k+2}\\{k-2≥0}\end{array}\right.$．

解答 解：因?yàn)閒（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），又f'（x）=-x+$\frac{1}{x}$
由f'（x）=-x+$\frac{1}{x}$=0，得：x=1或-1（負(fù)舍）；
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
要使得f（x）在區(qū)間（k-2，k+2）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，即$\left\{\begin{array}{l}{k-2＜1＜k+2}\\{k-2≥0}\end{array}\right.$
解得：2≤k＜3
故答案為：[2，3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，以及導(dǎo)函數(shù)的圖形交點(diǎn)與原函數(shù)圖形間單調(diào)性的關(guān)系，屬中等題．