12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）^x}，x≤1\\{log_a}x+\frac{1}{3}，x＞1\end{array}$，當x1≠x2時，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0，則a的取值集合是（　�。�
A．∅B．$（0，\frac{1}{3}]$C．$[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$D．$（0，\frac{1}{3}）$

分析 由x1≠x2時，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0，得到函數(shù)為減函數(shù)，再根據指數(shù)函數(shù)和對數(shù)的函數(shù)的性質，得到關于a的不等式組，解得即可．

解答 解：當x1≠x2時，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0則函數(shù)為減函數(shù)，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）^x}，x≤1\\{log_a}x+\frac{1}{3}，x＞1\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜1-2a＜1}\\{0＜a＜1}\\{1-2a≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{3}$，
故選：B

點評 本題考查了函數(shù)的單調性和分段函數(shù)的性質，屬于中檔題．

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