Question

4．已知四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=CD=$\sqrt{6}$，∠BAC=60°，E為AC的中點；現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起，使點D在平面ABC上的射影H落在BC上．

（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求證：CD⊥平面ABD；
（3）求三棱錐D-ABE的體積．

Answer 1

分析 （1）由DH⊥平面ABC得DH⊥AB，又AB⊥BC，故而AB⊥平面BCD；
（2）由AB⊥平面BCD得AB⊥CD，又CD⊥AD，故而CD⊥平面ABD；
（3）連結(jié)EH，則可證明AC⊥EH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE，AE，AB，EH，利用勾股定理計算DH，代入棱錐的體積公式求出體積．

解答 證明：（1）∵DH⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴DH⊥AB，
又AB⊥BC，BC?平面BCD，DH?平面BCD，BC∩DH=H，
∴AB⊥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，又AD⊥CD，AD?平面ABD，AB?平面ABD，AB∩AD=A，
∴CD⊥平面ABD．
（3）∵AD=CD=$\sqrt{6}$，AD⊥CD，E是AC的中點，
∴DE⊥AC，AC=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{3}$，DE=CE=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，
∴AB=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，BC=3．
連結(jié)EH，
∵DH⊥AC，DH∩DE=D，
∴AC⊥平面DEH，∴AC⊥EH．
∴△CEH∽△CBA，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{CE}{BC}$，即$\frac{EH}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得EH=1．
∴DH=$\sqrt{D{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴V_D-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•DH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×sin60°×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．