Question

8．已知cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，$\frac{π}{2}$＜θ＜π，則sin2θ=$-\frac{7}{9}$，tanθ=$-\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及倍角公式求得sin2θ，化弦為切求得tanθ．

解答 解：∵cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∴sin2θ=cos（$\frac{π}{2}-2θ$）=cos2（$θ-\frac{π}{4}$）
=2$co{s}^{2}（θ-\frac{π}{4}）-1$=$2×\frac{1}{9}-1=-\frac{7}{9}$；
由$sin2θ=\frac{2tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}=-\frac{7}{9}$，
得7tan²θ+18tanθ+7=0，
∵$\frac{π}{2}$＜θ＜π，
∴tanθ=$\frac{-18-8\sqrt{2}}{14}=-\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．
故答案為：$-\frac{7}{9}$，$-\frac{{9+4\sqrt{2}}}{7}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．