Question

18．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A 在曲線C上，∠F₁AF₂ 的平分線交x軸于點M
（I）若點M的坐標為（2，0），則|AF₂|=6；
（II）若|AF₁|+|AF₂|=24，則△F₁AF₂的面積為54．

Answer 1

分析 （I）求得雙曲線的a，b，c，可得焦點坐標，運用角平分線性質定理可得$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{|A{F}_{1}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$，由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=6，進而可得所求；
（II）由雙曲線的對稱性，可設A在右支上，運用雙曲線的定義和直角三角形的面積公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（I）雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1的a=3，b=3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=6，
則F₁（-6，0），F₂（6，0），
∠F₁AF₂ 的平分線交x軸于點M，
可得$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{|A{F}_{1}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
可得A在右支上，
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a=6，
解得|AF₂|=6；
（II）由雙曲線的對稱性，可設A在右支上，
可得|AF₁|-|AF₂|=6，
且|AF₁|+|AF₂|=24，
解得|AF₁|=15，|AF₂|=9，
又|F₁F₂|=12，
由9²+12²=15²，
可得AF₂⊥F₁F₂，
則△F₁AF₂的面積為$\frac{1}{2}$×9×12=54．
故答案為：6，54．

點評 本題考查雙曲線的方程和定義，考查角平分線的性質定理以及三角形的面積公式的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．