Question

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，且對任意n∈N^*，有4a_n-3S_n=

1

3

（2²ⁿ⁺¹+1），
（1）求{

an

4n

}的通項公式；
（2）求數列{

an

2n-2

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由數列遞推式求得a₁=3，再由數列遞推式得當n≥2時4a n-1-3Sn-1=

1

3

(22n-1+1)，和原遞推式作差得到數列{

an

4n

}是以

1

2

為公差的等差數列，由等差數列的通項公式得答案；
（2）由（1）得

an

2n-2

=(2n+1)2n，然后利用錯位相減法求其前n項和T_n．

解答： 解：（1）當n=1時，4a1-3S1=

1

3

(23+1)，得a₁=3，
當n≥2時，由4a n-3Sn=

1

3

(22n+1+1)  ①，
得4a n-1-3Sn-1=

1

3

(22n-1+1)  ②，
①-②得：4a n-4an-1-3an=22n-1，
即an=4an-1+22n-1，化為

an

4n

=

an-1

4n-1

+

1

2

，即

an

4n

-

an-1

4n-1

=

1

2

．
∴數列{

an

4n

}是以

3

4

為首項，以

1

2

為公差的等差數列，
則

an

4n

=

3

4

+(n-1)×

1

2

=

n

2

+

1

4

，

an

4n

=

1

2

n+

1

4

；
（2）由（1）得：

an

2n-2

=(2n+1)2n，
Tn=3•2+5•22+7•23+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n，
2•Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，
-Tn=6+23+24+…+2n+1-(2n+1)•2n+1，
∴Tn=n•2n+2+1．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．