Question

8．函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax存在與直線3x-y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線和直線平行建立f′（x）=3在定義域上有解，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：直線3x-y=0的斜率k=3，
函數(shù)f′（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a，
若函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax存在與直線3x-y=0平行的切線，
則說明f′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a=3，在（0，+∞）上有解，
即a=3-（$\frac{1}{x}$+x）在（0，+∞）上有解，
∵3-（$\frac{1}{x}$+x）≤3-2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=3-2=1，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{x}$=x即x=1時(shí)取等號(hào)，
∴a≤1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，根據(jù)存在性問題轉(zhuǎn)化為f′（x）=3有解，以及利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求最值問題是解決本題的關(guān)鍵．